物线的一般方程为 $y=ax^2+bx+c$。
标准方程
- 形式：$ax^2+bx+c$
- 参数形式：
$x = \frac{d}{dy} y = f(y)$，a \neq 0$，且$\Delta = b^2-4ac > 0$，以确保函数的开口方向和判别式的值满足抛物线的定义。
抛物线定义公式
- 顶点公式：若抛物线的标准方程为 $y=ax^2+bx+c$（c\neq 0$），则其顶点 $(h, k)$ 的横坐标是： $x_v = -\frac{b}{2a}$
- 对称轴公式：抛物线的对称轴是直线 $y = -\frac{b}{2a}$，即： $y=\begin{cases}ax^2+bx+c,\-\frac{b}{2a}\end{cases}$
- 准线公式：抛物线的准线是直线 $y = -\frac{b}{2a}$ 上的点，其斜率为 $-\frac{a}{b}$。
- 焦点公式：若$c>0$，则抛物线的焦点是 $(h',k')$，由下式确定，$k' = \frac{c}{a}$. $h' = -\frac{b}{2a} = x - h_v$, 解得: $h' = x + \frac{b}{2a}$
- 交点公式：若 $h'$ 和 $h' - c/a$ 不相等，则有两个交点 $P$ 和 $Q$，它们的坐标分别为 $(\left(h' + \frac{c}{2a}, f(h')), (\left(h' - \frac{c}{2a}, f(h')\right))$, $Q = \left(f(h'), h' + \frac{c}{2a}\right) = (-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$.
应用例子
示例 1: 标准二次函数
如果抛物线标准方程为 $y=x^2+2x$, 我们可以得到: $h = -\frac{2}{2}=0$, $k = 0$, $h' = -\sqrt{2}$, $k' = 2$, $c=0$. 抛物线的顶点为 $(0,0)$, 准线为 $y=-2$, 焦点在顶点 $(0,0)$处. 两个交点为 $(0,1)$ 和 $(1,1)$.
示例 2: 高次抛物线
如果抛物线的标准方程为 $y=x^3+6x^2$, 可以计算得到: $h = -\frac{6}{3} = -2$, $k = 0$, $h' = \frac{6}{3}$, $\Rightarrow h' - c/a = 0$, 故没有交点,焦点在顶点 $(-2, 0)$。
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希望本篇文章《抛物线的标准方程四种 抛物线定义公式》能对你有所帮助！
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