椭圆的标准方程推导过程动图 椭圆的标准方程怎么求

1、定义椭圆:椭圆是平面内到两个定点(焦点)的距离之和为常数的点的集合,设这两个定点为 \(F_1\) 和 \(F_2\),它们之间的距离为 \(2c\),椭圆上任意一点 \(P\) 到 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的距离之和为 \(2a\),\(a > c\)。

2、建立坐标系:将椭圆的对称中心作为原点,焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 在 x 轴上,坐标分别为 \((-c, 0)\) 和 \((c, 0)\)。

3、写出距离公式:设 \(P(x, y)\) 是椭圆上任意一点,根据椭圆的定义,有

\[

\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a.

\]

椭圆的标准方程推导过程动图 椭圆的标准方程怎么求

4、消去根号:将一个根式移到等式另一边,然后两边平方,得

\[

\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}.

\]

两边平方,得

\[

(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2.

\]

化简,得

\[

x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2.

\]

消去相同项,得

\[

4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}.

\]

两边除以 4,得

\[

cx = a^2 - a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}.

\]

将根式移到等式另一边,得

\[

a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = a^2 - cx.

\]

两边除以 \(a\),得

\[

\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = a - \frac{c}{a}x.

\]

再次两边平方,得

\[

(x - c)^2 + y^2 = a^2 - 2ax \cdot \frac{c}{a} + \left(\frac{c}{a}x\right)^2.

\]

化简,得

\[

x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = a^2 - 2cx + \frac{c^2}{a^2}x^2.

\]

消去相同项,得

\[

x^2 + c^2 + y^2 = a^2 + \frac{c^2}{a^2}x^2.

\]

将 \(x^2\) 项移到等式一边,得

\[

x^2 - \frac{c^2}{a^2}x^2 + y^2 = a^2 - c^2.

\]

提取 \(x^2\),得

\[

\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right)x^2 + y^2 = a^2 - c^2.

\]

令 \(b^2 = a^2 - c^2\),则

\[

\left(\frac{a^2 - c^2}{a^2}\right)x^2 + y^2 = b^2,

\]

\[

\frac{b^2}{a^2}x^2 + y^2 = b^2.

\]

两边除以 \(b^2\),得

\[

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

\]

椭圆的标准方程是 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

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  • 雅静烟韵
    雅静烟韵 2025年01月21日

    我是臻货网的签约作者“雅静烟韵”!

  • 雅静烟韵
    雅静烟韵 2025年01月21日

    希望本篇文章《椭圆的标准方程推导过程动图 椭圆的标准方程怎么求》能对你有所帮助!

  • 雅静烟韵
    雅静烟韵 2025年01月21日

    本篇文章概览:1、定义椭圆:椭圆是平面内到两个定点(焦点)的距离之和为常数的点的集合,设这两个定点为 \(F_1\) 和 \(F_2\),它们之间的距离为 \(2c\),椭圆上任意一点 \(...

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