1、定义椭圆：椭圆是平面内到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合，设这两个定点为 \(F_1\) 和 \(F_2\)，它们之间的距离为 \(2c\)，椭圆上任意一点 \(P\) 到 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的距离之和为 \(2a\)，\(a > c\)。
2、建立坐标系：将椭圆的对称中心作为原点，焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 在 x 轴上，坐标分别为 \((-c, 0)\) 和 \((c, 0)\)。
3、写出距离公式：设 \(P(x, y)\) 是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，有
\[
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a.
\]
4、消去根号：将一个根式移到等式另一边，然后两边平方，得
\[
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}.
\]
两边平方，得
\[
(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2.
\]
化简，得
\[
x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2.
\]
消去相同项，得
\[
4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}.
\]
两边除以 4，得
\[
cx = a^2 - a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}.
\]
将根式移到等式另一边，得
\[
a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = a^2 - cx.
\]
两边除以 \(a\)，得
\[
\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = a - \frac{c}{a}x.
\]
再次两边平方，得
\[
(x - c)^2 + y^2 = a^2 - 2ax \cdot \frac{c}{a} + \left(\frac{c}{a}x\right)^2.
\]
化简，得
\[
x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = a^2 - 2cx + \frac{c^2}{a^2}x^2.
\]
消去相同项，得
\[
x^2 + c^2 + y^2 = a^2 + \frac{c^2}{a^2}x^2.
\]
将 \(x^2\) 项移到等式一边，得
\[
x^2 - \frac{c^2}{a^2}x^2 + y^2 = a^2 - c^2.
\]
提取 \(x^2\)，得
\[
\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right)x^2 + y^2 = a^2 - c^2.
\]
令 \(b^2 = a^2 - c^2\)，则
\[
\left(\frac{a^2 - c^2}{a^2}\right)x^2 + y^2 = b^2,
\]
即
\[
\frac{b^2}{a^2}x^2 + y^2 = b^2.
\]
两边除以 \(b^2\)，得
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.
\]
椭圆的标准方程是 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
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