1、定义椭圆：
椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合，设定两个焦点 \( F_1 \) 和 \( F_2 \)，它们的坐标分别为 \( (-c, 0) \) 和 \( (c, 0) \)，常数和为 \( 2a \)。
2、设定椭圆上的点：
设 \( P(x, y) \) 是椭圆上的任意一点，根据椭圆的定义，点 \( P \) 到两个焦点 \( F_1 \) 和 \( F_2 \) 的距离之和为 \( 2a \)，即：
\[
PF_1 + PF_2 = 2a
\]
用距离公式表示，得到：
\[
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a
\]
3、消去根号：
为了消去根号，将上式两边平方：
\[
\left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \right)^2 = (2a)^2
\]
展开左边，得到：
\[
(x + c)^2 + y^2 + 2\sqrt{(x + c)^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2 = 4a^2
\]
合并同类项，得到：
\[
2x^2 + 2y^2 + 2c^2 + 2\sqrt{(x + c)^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 4a^2
\]
两边除以2，得到：
\[
x^2 + y^2 + c^2 + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a^2
\]
将 \(\sqrt{(x + c)^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x - c)^2 + y^2}\) 单独移到一边，得到：
\[
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} \cdot \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a^2 - x^2 - y^2 - c^2
\]
再次平方，得到：
\[
[(x + c)^2 + y^2][(x - c)^2 + y^2] = (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2
\]
展开左边，得到：
\[
(x^2 - c^2)^2 + y^2[(x + c)^2 + (x - c)^2] + y^4 = (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2
\]
进一步展开，得到：
\[
x^4 - 2x^2c^2 + c^4 + y^2(2x^2 + 2c^2) + y^4 = (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2
\]
简化，得到：
\[
x^4 - 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4 = (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2
\]
右边展开，得到：
\[
x^4 - 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4 = 4a^4 - 4a^2x^2 - 4a^2y^2 - 4a^2c^2 + x^4 + x^2y^2 + x^2c^2 + y^4 + y^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2x^2c^2 + 2y^2c^2
\]
合并同类项，得到：
\[
x^4 - 2x^2c^2 + c^4 + 2x^2y^2 + 2c^2y^2 + y^4 = 4a^4 - 4a^2x^2 - 4a^2y^2 - 4a^2c^2 + x^4 + 5x^2y^2 + 3x^2c^2 + y^4 + 3y^2c^2 + c^4
\]
两边减去 \(x^4 + y^4 + c^4 + 5x^2y^2 + 3x^2c^2 + 3y^2c^2\)，得到：
\[
-7x^2c^2 - 7y^2c^2 = 4a^4 - 4a^2x^2 - 4a^2y^2 - 4a^2c^2
\]
两边除以 \(-7\)，得到：
\[
x^2c^2 + y^2c^2 = \frac{4a^4 - 4a^2x^2 - 4a^2y^2 - 4a^2c^2}{-7}
\]
简化，得到：
\[
x^2c^2 + y^2c^2 = \frac{4a^2(a^2 - x^2 - y^2 - c^2)}{-7}
\]
由于 \(a^2 = b^2 + c^2\)，代入得到：
\[
x^2c^2 + y^2c^2 = \frac{4a^2(b^2 - x^2 - y^2)}{-7}
\]
两边除以 \(c^2\)，得到：
\[
x^2 + y^2 = \frac{4a^2(b^2 - x^2 - y^2)}{-7c^2}
\]
简化，得到：
\[
x^2 + y^2 = \frac{4a^2b^2 - 4a^2x^2 - 4a^2y^2}{-7c^2}
\]
两边乘以 \(-7c^2\)，得到：
\[
-7c^2(x^2 + y^2) = 4a^2b^2 - 4a^2x^2 - 4a^2y^2
\]
两边加上 \(4a^2x^2 + 4a^2y^2\)，得到：
\[
-7c^2x^2 - 7c^2y^2 + 4a^2x^2 + 4a^2y^2 = 4a^2b^2
\]
合并同类项，得到：
\[
(4a^2 - 7c^2)x^2 + (4a^2 - 7c^2)y^2 = 4a^2b^2
\]
两边除以 \(4a^2 - 7c^2\)，得到：
\[
x^2 + y^2 = \frac{4a^2b^2}{4a^2 - 7c^2}
\]
由于 \(a^2 = b^2 + c^2\)，代入得到：
\[
x^2 + y^2 = \frac{4a^2b^2}{4b^2}
\]
简化，得到：
\[
x^2 + y^2 = b^2
\]
椭圆的标准方程为：
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
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